수학 강의 1강

고등 수학의 출발점인 다항식을 다룬다. 덧셈·뺄셈·곱셈·나눗셈과 자주 쓰는 곱셈공식을, 구체적인 예제를 풀며 익힌다.

1. 다항식이란

문자와 수의 곱으로 이루어진 항들의 합을 다항식이라 한다. 예를 들어 2x² − 3x + 1 에서 2x², −3x, 1 을 각각 항이라 하고, x² 앞의 수 2 를 계수라 한다. 가장 높은 차수가 그 다항식의 차수이며, 위 식은 이차식이다.

보통 차수가 높은 항부터 쓰는 내림차순으로 정리한다. 예: 1 − 3x + 2x² → 2x² − 3x + 1.

2. 덧셈과 뺄셈: 동류항 정리

문자와 차수가 같은 항을 동류항이라 하고, 계수끼리 더하거나 뺀다.

예제 1) A = 2x² + 3x − 1, B = x² − 5x + 4 일 때 A + B 와 A − B 를 구하여라.

풀이)
A + B = (2+1)x² + (3−5)x + (−1+4) = 3x² − 2x + 3
뺄셈은 B의 부호를 모두 바꿔 더한다.
A − B = (2−1)x² + (3−(−5))x + (−1−4) = x² + 8x − 5

3. 곱셈과 곱셈공식

분배법칙으로 전개한 뒤 동류항을 정리한다. 자주 나오는 전개는 곱셈공식으로 외워 두면 빠르다.

• (a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b²
• (a + b)(a − b) = a² − b²
• (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
• (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
• (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca

위 그림처럼 (a + b)² 는 한 변이 a + b 인 정사각형의 넓이로, a² + 2ab + b² 로 나뉜다.

예제 2) (2x + 3)² 과 (x + 5)(x − 2) 를 전개하여라.

풀이)
(2x + 3)² = (2x)² + 2·(2x)·3 + 3² = 4x² + 12x + 9
(x + 5)(x − 2) = x² + (5 + (−2))x + 5·(−2) = x² + 3x − 10

4. 곱셈공식의 변형

식의 값을 구할 때 매우 유용하다.

• a² + b² = (a + b)² − 2ab
• a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b)

예제 3) a + b = 5, ab = 6 일 때 a² + b² 과 a³ + b³ 을 구하여라.

풀이)
a² + b² = (a+b)² − 2ab = 5² − 2·6 = 25 − 12 = 13
a³ + b³ = (a+b)³ − 3ab(a+b) = 125 − 3·6·5 = 125 − 90 = 35

5. 다항식의 나눗셈

다항식 A를 B로 나누면 몫 Q, 나머지 R에 대해 A = BQ + R 이 성립한다. 이때 R의 차수는 B의 차수보다 낮다.

예제 4) x² + 4x + 7 을 x + 1 로 나눈 몫과 나머지를 구하여라.

풀이) 세로셈으로 나누면 몫은 x + 3, 나머지는 4 다.
검산: (x + 1)(x + 3) + 4 = x² + 4x + 3 + 4 = x² + 4x + 7. ✔

정리

• 곱셈공식은 전개와 인수분해 양방향으로 쓰인다.
• 변형 공식 a²+b²=(a+b)²−2ab 는 값 계산의 핵심(예제 3).
• 나눗셈은 항상 A = BQ + R 로 확인한다. 다음 강의 나머지정리로 이어진다.