수학 강의 2강

다항식을 나눈 나머지를 계산 없이 구하는 나머지정리, 빠른 나눗셈 도구인 조립제법, 그리고 인수분해를 예제로 익힌다.

1. 항등식과 미정계수법

문자에 어떤 값을 넣어도 항상 성립하는 등식이 항등식이다.

예제 1) x² + 3x + 2 = a(x+1)² + b(x+1) + c 가 항등식일 때 상수 a, b, c를 구하여라.

풀이) x = −1 을 대입하면 1 − 3 + 2 = c, 즉 c = 0.
우변을 전개하면 a x² + (2a+b)x + (a+b+c). 계수를 비교하면
a = 1, 2a + b = 3 → b = 1, a + b + c = 2 (확인됨).
∴ a = 1, b = 1, c = 0.

2. 나머지정리

다항식 P(x) 를 x − a 로 나눈 나머지는 P(a) 이다.

예제 2) P(x) = x³ − 2x² + 3 을 x − 2 로 나눈 나머지를 구하여라.

풀이) P(2) = 2³ − 2·2² + 3 = 8 − 8 + 3 = 3. 나눗셈 없이 대입만으로 나머지 3 을 얻는다(위 그림).

3. 인수정리와 조립제법

P(a) = 0 ⇔ x − a 는 P(x) 의 인수

대입해서 0이 되는 값을 찾으면 인수를 하나 찾은 것이다. x − a 로 나눌 때는 계수만으로 계산하는 조립제법이 빠르다.

예제 3) P(x) = x³ − 2x² + 3 을 x − 2 로 나눈 몫을 조립제법으로 구하여라.

풀이) 계수 1, −2, 0, 3 을 나열하고 a=2로 조립제법(위 그림)을 하면 1, 0, 0 과 나머지 3 이 나온다.
∴ 몫 = x², 나머지 = 3, 즉 P(x) = (x−2)·x² + 3.

4. 인수분해

• a² − b² = (a + b)(a − b)
• a³ ± b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²)
• x² + (a+b)x + ab = (x + a)(x + b)

예제 4) x³ − 7x + 6 을 인수분해하여라.

풀이) x = 1 을 넣으면 1 − 7 + 6 = 0 → x − 1 이 인수. 조립제법으로 나누면 몫이 x² + x − 6.
x² + x − 6 = (x + 3)(x − 2).
∴ x³ − 7x + 6 = (x − 1)(x − 2)(x + 3).

정리

• 나머지정리: x−a 로 나눈 나머지 = P(a) (예제 2).
• 인수정리로 인수를 찾고 조립제법으로 몫을 구한다(예제 3·4).
• 이 도구들은 5강 고차방정식 풀이의 바탕이다.