수학 강의 35강

크기와 방향을 가진 벡터를 배우고 공간으로 확장한다. 마지막 강의다.

1. 벡터와 성분

위 그림처럼 두 벡터의 합은 평행사변형법. a = (a₁, a₂) 의 크기 |a| = √(a₁²+a₂²).

예제 1) a = (3, 4), b = (1, −2) 일 때 a + b 와 |a| 를 구하여라.

풀이) a + b = (4, 2). |a| = √(9+16) = 5.

2. 내적

a·b = |a||b|cosθ = a₁b₁ + a₂b₂. 수직 ⇔ a·b = 0.

예제 2) a = (2, 3), b = (4, −1) 의 내적과, 두 벡터가 이루는 각의 코사인을 구하여라.

풀이) a·b = 2·4 + 3·(−1) = 5. |a| = √13, |b| = √17.
cosθ = 5/(√13·√17) = 5/√221.

예제 3) a = (1, k) 와 b = (2, −3) 이 수직일 때 k를 구하여라.

풀이) a·b = 2 − 3k = 0 → k = 2/3.

3. 공간으로의 확장

공간의 점·벡터는 (x, y, z). 두 점 A(x₁,y₁,z₁), B(x₂,y₂,z₂) 사이 거리 = √(Δx²+Δy²+Δz²). 구 (x−a)²+(y−b)²+(z−c)² = r².

예제 4) 두 점 A(1, 2, 3), B(4, 6, 3) 사이의 거리를 구하여라.

풀이) √((4−1)²+(6−2)²+(3−3)²) = √(9+16+0) = 5.

정리

• 벡터의 합·크기는 성분으로 계산(예제 1).
• 내적 a₁b₁+a₂b₂, 수직이면 0(예제 2·3).
• 공간은 성분 (x,y,z) 로 거리·구까지 확장(예제 4).

---

지금까지 고1 공통수학부터 고3 미적분·확률과 통계·기하까지 이과 수학 전 과정을 함께했다. 각 강의 예제를 스스로 손으로 풀어 보며 개념을 익혔다면, 이제 실전 문제로 넘어갈 준비가 된 것이다. 수고 많았다.