수학 강의 34강

포물선·타원·쌍곡선을 좌표로 다루고 예제로 익힌다.

1. 포물선

한 점(초점)과 한 직선(준선)에서 등거리인 점의 자취. y² = 4px 는 초점 (p, 0), 준선 x = −p.

예제 1) 초점이 (2, 0) 이고 꼭짓점이 원점인 포물선의 방정식을 구하여라.

풀이) p = 2 → y² = 4·2·x = 8x.

2. 타원

두 초점에서 거리의 합이 일정. x²/a² + y²/b² = 1 (a>b>0), 초점 (±c, 0), c² = a² − b².

예제 2) x²/25 + y²/9 = 1 의 초점을 구하여라.

풀이) a²=25, b²=9, c² = 25 − 9 = 16 → c = 4. 초점 (±4, 0).

3. 쌍곡선

두 초점에서 거리의 차가 일정. x²/a² − y²/b² = 1, c² = a² + b², 점근선 y = ±(b/a)x.

예제 3) x²/9 − y²/16 = 1 의 초점과 점근선을 구하여라.

풀이) c² = 9 + 16 = 25 → c = 5. 초점 (±5, 0). 점근선 y = ±(4/3)x.

4. 이차곡선의 접선

곡선 위의 점 (x₁, y₁) 에서 x²→x₁x, y²→y₁y 로 바꾼다.

예제 4) 타원 x²/8 + y²/2 = 1 위의 점 (2, 1) 에서의 접선을 구하여라.

풀이) 2x/8 + y/2 = 1 → x/4 + y/2 = 1 → x + 2y = 4.

정리

• 포물선 y²=4px(예제 1), 타원 c²=a²−b²(예제 2).
• 쌍곡선 c²=a²+b², 점근선 ±(b/a)x(예제 3).
• 접선은 x²→x₁x 치환(예제 4).