수학 강의 10강

함수의 정의와 합성·역함수, 그리고 분수꼴·근호꼴 함수의 그래프를 예제로 다룬다.

$수학 10강 개념도$

1. 함수

정의역의 각 원소에 공역의 원소가 하나씩 대응하면 함수다. 일대일대응이면 역함수가 존재한다.

(g ∘ f)(x) = g(f(x)). 일반적으로 g∘f ≠ f∘g.

예제 1) f(x) = 2x + 1, g(x) = x² 일 때 (g∘f)(x) 와 (f∘g)(x) 를 구하여라.

풀이)
(g∘f)(x) = g(2x+1) = (2x+1)² = 4x² + 4x + 1
(f∘g)(x) = f(x²) = 2x² + 1 → 서로 다르다.

y = f(x) 에서 x, y를 바꿔 y에 대해 푼다. 그래프는 y = x 에 대칭.

예제 2) f(x) = 2x − 4 의 역함수를 구하여라.

풀이) y = 2x − 4 → x = 2y − 4 → y = (x + 4)/2.
∴ f⁻¹(x) = (x + 4)/2.

y = k/(x − p) + q 는 점근선 x = p, y = q 인 곡선(위 그림 y = 2/x).

예제 3) y = (2x + 1)/(x − 1) 의 점근선을 구하여라.

풀이) y = (2(x−1) + 3)/(x−1) = 2 + 3/(x−1).
∴ 점근선 x = 1, y = 2.

y = √(x − p) + q 는 근호 안이 0 이상인 곳에서만 정의(위 그림 y = √x).

예제 4) y = √(2x − 4) + 1 의 정의역을 구하여라.

풀이) 2x − 4 ≥ 0 → x ≥ 2. 정의역 {x | x ≥ 2}.