수학 강의 11강

경우의 수를 세는 원리와 순열·조합을 예제로 익힌다. 확률과 통계의 토대다.

1. 합의 법칙과 곱의 법칙

• 합의 법칙: 동시에 일어나지 않는 사건은 경우의 수를 더한다.
• 곱의 법칙: 잇달아 일어나는 사건은 경우의 수를 곱한다.

예제 1) 서울→대전 길이 3가지, 대전→부산 길이 2가지일 때 서울→부산 경로는 몇 가지인가?

풀이) 잇달아 일어나므로 곱의 법칙. 3 × 2 = 6 가지.

2. 순열 (순서 O)

ₙPᵣ = n(n−1)…(n−r+1) = n! / (n−r)!. 위 그림처럼 3명 중 2명을 세우면 ₃P₂ = 3 × 2 = 6.

예제 2) 5명 중 3명을 뽑아 한 줄로 세우는 경우의 수는?

풀이) ₅P₃ = 5 × 4 × 3 = 60 가지.

예제 3) 5명을 모두 한 줄로 세우되, 특정 2명 A, B를 이웃하게 세우는 경우의 수는?

풀이) A, B를 한 덩어리로 묶으면 4개를 세우는 4! = 24, 덩어리 내부 A·B 순서 2! = 2.
∴ 24 × 2 = 48 가지.

3. 조합 (순서 X)

ₙCᵣ = ₙPᵣ / r! = n! / (r!(n−r)!). 같은 3명 중 2명을 순서 없이 뽑으면 ₃C₂ = 3.

예제 4) 8명 중 3명을 뽑아 청소 당번을 정하는 경우의 수는?

풀이) 순서 없음 → 조합. ₈C₃ = (8·7·6)/(3·2·1) = 336/6 = 56 가지.

예제 5) 남 4명, 여 3명 중 남 2명·여 1명을 뽑는 경우의 수는?

풀이) ₄C₂ × ₃C₁ = 6 × 3 = 18 가지.

4. 조합의 성질

ₙCᵣ = ₙCₙ₋ᵣ, ₙCᵣ = ₙ₋₁Cᵣ₋₁ + ₙ₋₁Cᵣ(파스칼).

정리

• 순서가 중요하면 순열(예제 2·3), 아니면 조합(예제 4·5).
• "이웃하게"는 묶어서 계산(예제 3).
• 조건별로 나눠 뽑을 땐 곱의 법칙으로 결합(예제 5).