수학 강의 9강

수학의 언어인 집합과 명제를 예제로 다룬다. 논리적으로 참·거짓을 따지는 훈련이다.

$수학 9강 개념도$

1. 집합과 부분집합

원소가 n개인 집합의 부분집합은 2ⁿ 개다.

예제 1) 집합 {1, 2, 3} 의 부분집합의 개수와, 그 중 원소 1을 포함하는 것의 개수를 구하여라.

풀이) 전체 부분집합 2³ = 8 개. 1을 반드시 포함하면 나머지 {2,3} 의 부분집합 수와 같으므로 2² = 4 개.

위 벤다이어그램처럼 합집합 A∪B, 교집합 A∩B, 여집합 Aᶜ, 차집합 A−B = A∩Bᶜ.

예제 2) U = {1,2,3,4,5,6}, A = {1,2,3}, B = {3,4,5} 일 때 A∪B, A∩B, Aᶜ, A−B 를 구하여라.

풀이) A∪B = {1,2,3,4,5}, A∩B = {3}, Aᶜ = {4,5,6}, A−B = {1,2}.

드모르간 법칙: (A∪B)ᶜ = Aᶜ∩Bᶜ, (A∩B)ᶜ = Aᶜ∪Bᶜ.

예제 3) 명제 "x = 2 이면 x² = 4 이다"의 참·거짓과, 그 역을 판단하여라.

풀이) 원명제: x=2 → x²=4 는 참.
역: x²=4 → x=2 는 x=−2 라는 반례가 있으므로 거짓.

명제 p → q 에 대해 역 q → p, 이 ~p → ~q, 대우 ~q → ~p. 대우는 원명제와 참·거짓이 항상 같다(대우법 증명의 근거).

p → q 가 참이면 p는 q의 충분조건, q는 p의 필요조건.

예제 4) '자연수 x가 4의 배수'는 'x가 2의 배수'이기 위한 어떤 조건인가?

풀이) 4의 배수 → 2의 배수 (참), 역은 거짓. 따라서 '4의 배수'는 '2의 배수'의 충분조건(필요조건은 아님).