수학 강의 12강

거듭제곱을 실수 지수까지 확장하고, 그 역인 로그를 도입한다. 예제로 계산에 익숙해진다.

1. 지수법칙

a > 0 일 때 aᵐaⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, a⁻ⁿ = 1/aⁿ, a^(1/n) = ⁿ√a.

예제 1) 8^(2/3) 과 (√2)⁶ 을 계산하여라.

풀이) 8^(2/3) = (2³)^(2/3) = 2² = 4. (√2)⁶ = (2^(1/2))⁶ = 2³ = 8.

2. 로그의 정의

a>0, a≠1, N>0 일 때 aˣ = N ⇔ x = logₐN(위 그림). 지수와 로그는 서로 뒤집는 관계다.

예제 2) log₂8 과 log₉27 의 값을 구하여라.

풀이) log₂8: 2ˣ = 8 = 2³ → 3. log₉27: 9ˣ = 27 → 3^(2x) = 3³ → x = 3/2.

3. 로그의 성질

logₐ(MN) = logₐM + logₐN, logₐ(M/N) = logₐM − logₐN, logₐMᵏ = k logₐM, 밑변환 logₐb = log꜀b / log꜀a.

예제 3) log₂12 − log₂3 을 계산하여라.

풀이) log₂(12/3) = log₂4 = 2.

예제 4) log₄8 을 밑변환으로 구하여라.

풀이) log₄8 = log₂8 / log₂4 = 3/2.

4. 상용로그의 활용

밑이 10인 log N. 지표(정수부)로 자릿수를 안다.

예제 5) log2 = 0.301 일 때 2¹⁰ 은 몇 자리 수인가?

풀이) log 2¹⁰ = 10 × 0.301 = 3.01. 지표가 3이므로 2¹⁰ 은 4자리 수다(실제 1024).

정리

• 지수는 밑을 같게 만들어 비교(예제 1·2).
• 로그의 곱→합·나눗셈→차 성질과 밑변환(예제 3·4).
• 상용로그의 지표로 자릿수를 판단(예제 5).