수학 강의 13강

지수와 로그를 함수로 보고 그래프의 성질과 방정식·부등식을 예제로 다룬다.

$수학 13강 개념도$

1. 지수함수 y = aˣ

정의역 실수 전체, 치역 양의 실수. 점 (0,1) 을 지나고 a>1이면 증가, 0<a<1이면 감소.

지수함수의 역함수. 점 (1,0) 을 지나고, 위 그림처럼 y = aˣ 와 y = logₐx 는 직선 y = x 에 대칭이다.

예제 1) 2^0.5, 2^0.8, 2^1.2 의 대소를 비교하여라.

풀이) 밑 2 > 1 이라 증가함수 → 지수가 클수록 크다. 2^0.5 < 2^0.8 < 2^1.2.

예제 2) 4ˣ − 3·2ˣ + 2 = 0 을 풀어라.

풀이) 2ˣ = t (t>0) 로 치환하면 t² − 3t + 2 = 0 → (t−1)(t−2)=0 → t = 1, 2.
2ˣ = 1 → x = 0, 2ˣ = 2 → x = 1. ∴ x = 0, 1.

예제 3) (1/3)ˣ > 9 를 풀어라.

풀이) 3⁻ˣ > 3². 밑 3 > 1 이므로 지수 비교: −x > 2 → x < −2.

예제 4) log₂(x − 1) = 3 을 풀어라.

풀이) 진수 조건 x > 1. x − 1 = 2³ = 8 → x = 9 (조건 만족).