수학 강의 16강

규칙적으로 나열된 수열 중 대표적인 두 수열을 예제로 익힌다.

1. 등차수열

이웃한 항의 차가 일정(공차 d). 위 그림처럼 aₙ = a₁ + (n−1)d, 합 Sₙ = n(a₁+aₙ)/2.

예제 1) 첫째항 3, 공차 4인 등차수열의 제10항과 첫 10항의 합을 구하여라.

풀이) a₁₀ = 3 + 9×4 = 39. S₁₀ = 10(3 + 39)/2 = 10×21 = 210.

예제 2) 제3항이 7, 제7항이 19인 등차수열의 첫째항과 공차를 구하여라.

풀이) a₃ = a₁ + 2d = 7, a₇ = a₁ + 6d = 19. 빼면 4d = 12 → d = 3, a₁ = 1.

2. 등비수열

이웃한 항의 비가 일정(공비 r). aₙ = a₁ rⁿ⁻¹, 합 Sₙ = a₁(rⁿ−1)/(r−1) (r≠1).

예제 3) 첫째항 2, 공비 3인 등비수열의 제5항과 첫 5항의 합을 구하여라.

풀이) a₅ = 2 × 3⁴ = 162. S₅ = 2(3⁵−1)/(3−1) = 2×242/2 = 242.

3. 등차·등비중항

2b = a + c(등차), b² = ac(등비).

예제 4) 세 수 4, x, 16 이 이 순서로 등비수열일 때 x를 구하여라.

풀이) x² = 4 × 16 = 64 → x = ±8.

4. 합과 일반항의 관계

aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ (단 a₁ = S₁).

예제 5) Sₙ = n² + 2n 일 때 일반항 aₙ 을 구하여라.

풀이) aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ = (n²+2n) − ((n−1)²+2(n−1)) = 2n + 1 (n≥2). a₁ = S₁ = 3 도 만족.
∴ aₙ = 2n + 1.

정리

• 등차 aₙ=a₁+(n−1)d(예제 1·2), 등비 aₙ=a₁rⁿ⁻¹(예제 3).
• 중항 관계로 미지항을 구한다(예제 4).
• aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ 로 합에서 일반항 복원(예제 5).