수학 강의 17강

합의 기호 Σ와, 모든 자연수에서의 성립을 보이는 수학적 귀납법을 예제로 다룬다.

1. Σ의 성질과 공식

Σ(paₖ + qbₖ) = pΣaₖ + qΣbₖ. 또 Σk = n(n+1)/2, Σk² = n(n+1)(2n+1)/6, Σk³ = {n(n+1)/2}².

예제 1) Σ(k=1→10) k 와 Σ(k=1→5) k² 을 구하여라.

풀이) Σk = 10×11/2 = 55. Σk² = 5×6×11/6 = 55.

예제 2) Σ(k=1→n) (2k + 1) 을 n에 대한 식으로 나타내어라.

풀이) 2Σk + Σ1 = 2·n(n+1)/2 + n = n² + n + n = n² + 2n.

2. 부분분수를 이용한 합

1/{k(k+1)} = 1/k − 1/(k+1).

예제 3) Σ(k=1→n) 1/{k(k+1)} 을 구하여라.

풀이) Σ(1/k − 1/(k+1)) = (1 − 1/2) + (1/2 − 1/3) + … + (1/n − 1/(n+1)).
중간이 모두 소거되어 = 1 − 1/(n+1) = n/(n+1).

3. 수학적 귀납법

위 그림의 도미노처럼 ① n=1 에서 성립, ② n=k 에서 성립하면 n=k+1 에서도 성립을 보인다.

예제 4) 모든 자연수 n에 대해 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2 임을 귀납법으로 증명하여라.

풀이)
① n=1: 좌변 1, 우변 1·2/2 = 1. 성립.
② n=k 성립 가정: 1+…+k = k(k+1)/2. 양변에 k+1 을 더하면
1+…+k+(k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k+2)/2.
이는 n=k+1 일 때의 식이다. ∴ 모든 자연수 n에서 성립. ∎

정리

• Σ 공식과 선형성으로 합을 계산(예제 1·2).
• 부분분수는 이웃 항이 소거되는 망원급수(예제 3).
• 귀납법 = 기초 + 귀납, 도미노 원리(예제 4).