수학 강의 18강

미적분의 출발점인 극한을 예제로 다룬다. 어떤 값에 '한없이 가까워지는' 것을 정밀하게 본다.

$수학 18강 개념도$

1. 극한의 뜻

위 그림처럼 x가 a에 한없이 가까워질 때 f(x)가 L에 가까워지면 lim(x→a) f(x) = L. f(a)가 정의되지 않아도 극한은 존재할 수 있다.

좌극한 = 우극한 일 때만 극한이 존재한다.

예제 1) f(x) = |x|/x 의 x→0 에서의 극한을 조사하여라.

풀이) 우극한(x>0): x/x = 1. 좌극한(x<0): −x/x = −1. 좌≠우 이므로 극한값이 존재하지 않는다.

인수분해해 약분한다.

예제 2) lim(x→2) (x² − 4)/(x − 2) 를 구하여라.

풀이) (x−2)(x+2)/(x−2) = x + 2 → x→2 이면 4.

예제 3) lim(x→0) (√(x+1) − 1)/x 를 구하여라.

풀이) 분자를 유리화: ((x+1)−1)/{x(√(x+1)+1)} = x/{x(√(x+1)+1)} = 1/(√(x+1)+1) → 1/2.

최고차항으로 나눈다.

예제 4) lim(x→∞) (2x² + 3x)/(x² − 1) 를 구하여라.

풀이) 분자·분모를 x² 으로 나누면 (2 + 3/x)/(1 − 1/x²) → 2.