수학 강의 19강

그래프가 '끊기지 않는' 성질인 연속을 극한으로 정의하고 예제로 확인한다.

$수학 19강 개념도$

1. 연속의 정의

x = a 에서 연속 ⇔ ① f(a) 존재 ② lim(x→a)f(x) 존재 ③ 둘이 같음. 조건이 깨지면 위 그림처럼 구멍·점프 불연속이다.

예제 1) f(x) = (x²−1)/(x−1) (x≠1), f(1) = k 가 x=1 에서 연속이 되도록 k를 정하여라.

풀이) lim(x→1) (x²−1)/(x−1) = lim(x+1) = 2. 연속이려면 f(1) = 2, 즉 k = 2.

연속인 두 함수의 합·차·곱·몫(분모≠0), 합성은 연속. 다항함수는 모든 실수에서 연속이다.

예제 2) f(x) = x² + ax + b 가 있을 때, 함수가 모든 실수에서 연속인 이유를 말하여라.

풀이) 다항함수이므로 정의역 전체(실수 전체)에서 연속이다.

[a,b] 에서 연속이고 f(a)·f(b) < 0 이면 (a,b) 에 f(c)=0 인 c가 존재 → 실근의 존재 증명.

예제 3) f(x) = x³ + x − 1 이 구간 (0, 1) 에서 실근을 가짐을 보여라.

풀이) f는 연속. f(0) = −1 < 0, f(1) = 1 > 0 이라 f(0)f(1)<0. 사잇값 정리에 의해 (0,1) 에 실근이 존재한다.

닫힌구간에서 연속이면 최댓값·최솟값을 가진다.