수학 강의 20강

곡선의 기울기를 다루는 미분을 예제로 시작한다. 순간의 변화율이 미분계수다.

$수학 20강 개념도$

1. 평균변화율과 미분계수

위 그림에서 할선의 기울기가 평균변화율, 그 극한(접선 기울기)이 미분계수다.
f′(a) = lim(h→0) {f(a+h) − f(a)}/h.

예제 1) f(x) = x² 의 x=1 에서 x=3 까지의 평균변화율을 구하여라.

풀이) (f(3)−f(1))/(3−1) = (9−1)/2 = 4.

예제 2) f(x) = x² 의 x=1 에서의 미분계수를 정의로 구하여라.

풀이) f′(1) = lim(h→0){(1+h)² − 1}/h = lim(2h + h²)/h = lim(2 + h) = 2.

(xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹, (상수)′ = 0, (f±g)′ = f′±g′, (fg)′ = f′g + fg′.

예제 3) f(x) = 2x³ − 3x² + 5 의 도함수를 구하여라.

풀이) f′(x) = 6x² − 6x.

예제 4) f(x) = (x² + 1)(x − 2) 를 곱의 미분법으로 미분하여라.

풀이) f′(x) = (2x)(x−2) + (x²+1)(1) = 2x² − 4x + x² + 1 = 3x² − 4x + 1.

미분가능하면 연속. 그러나 뾰족한 점(예: y = |x| 의 x=0)에서는 연속이지만 미분 불가능하다.

예제 5) 곡선 y = x² 위의 점 (2, 4) 에서의 접선의 방정식을 구하여라.

풀이) y′ = 2x → 기울기 f′(2) = 4. y − 4 = 4(x − 2) → y = 4x − 4.