수학 강의 3강

제곱해서 음수가 되는 수, 허수를 도입해 수를 복소수로 넓히고, 이차방정식의 근을 판별식으로 분류한다.

1. 허수단위와 복소수

i² = −1 인 수 i 를 허수단위라 한다. a + bi(a, b는 실수)를 복소수라 하고 a를 실수부, b를 허수부라 한다. 위 그림처럼 복소수는 좌표평면의 점 (a, b) 로 나타낸다(복소평면).

2. 복소수의 사칙연산

실수처럼 계산하되 i² = −1 을 이용한다.

예제 1) (2 + 3i) + (1 − i) 와 (2 + 3i)(1 − i) 를 계산하여라.

풀이)
(2 + 3i) + (1 − i) = 3 + 2i
(2 + 3i)(1 − i) = 2 − 2i + 3i − 3i² = 2 + i + 3 = 5 + i (∵ −3i² = 3)

3. 켤레복소수와 분모의 실수화

a + bi 의 켤레복소수는 a − bi 다. 곱하면 (a+bi)(a−bi) = a² + b² 로 실수가 된다.

예제 2) 1 / (2 + i) 를 a + bi 꼴로 나타내어라.

풀이) 분모의 켤레 2 − i 를 위아래 곱한다.
1/(2+i) = (2−i) / {(2+i)(2−i)} = (2−i)/(4+1) = 2/5 − (1/5)i.

4. 이차방정식의 근과 판별식

ax² + bx + c = 0 의 근은 x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a. 판별식 D = b² − 4ac 로 근을 분류한다(위 그림).

• D > 0 : 서로 다른 두 실근
• D = 0 : 중근
• D < 0 : 서로 다른 두 허근

예제 3) x² − 4x + 5 = 0 을 풀어라.

풀이) D = (−4)² − 4·1·5 = 16 − 20 = −4 < 0 → 허근.
x = (4 ± √(−4))/2 = (4 ± 2i)/2 = 2 ± i.

5. 근과 계수의 관계

두 근을 α, β 라 하면 α + β = −b/a, αβ = c/a 다.

예제 4) x² − 5x + 6 = 0 의 두 근 α, β에 대해 α² + β² 을 구하여라.

풀이) α + β = 5, αβ = 6 이므로
α² + β² = (α+β)² − 2αβ = 25 − 12 = 13.

정리

• i² = −1, 켤레복소수로 분모를 실수화(예제 2).
• 판별식 D의 부호로 근의 종류 결정(예제 3).
• 근과 계수의 관계로 근을 안 구하고도 α+β, αβ를 활용(예제 4).