수학 강의 21강

도함수의 부호로 그래프 개형을 읽고, 최대·최소·방정식에 응용한다.

1. 증가·감소와 극값

위 그림처럼 f′(x)>0 이면 증가, f′(x)<0 이면 감소. f′(x)=0 에서 부호가 +→− 면 극대, −→+ 면 극소.

예제 1) f(x) = x³ − 3x 의 극값을 구하여라.

풀이) f′(x) = 3x² − 3 = 3(x−1)(x+1) = 0 → x = ±1.
증감표에서 x=−1 은 +→−(극대), x=1 은 −→+(극소).
극댓값 f(−1) = −1 + 3 = 2, 극솟값 f(1) = 1 − 3 = −2.

2. 최대·최소

예제 2) −2 ≤ x ≤ 2 에서 f(x) = x³ − 3x 의 최댓값·최솟값을 구하여라.

풀이) 극값 f(−1)=2, f(1)=−2 와 끝값 f(−2) = −8+6 = −2, f(2) = 8−6 = 2 를 비교.
∴ 최댓값 2 (x=−1, 2), 최솟값 −2 (x=1, −2).

3. 방정식의 실근 개수

f(x) = k 의 실근 수 = y=f(x) 와 y=k 의 교점 수.

예제 3) 방정식 x³ − 3x = k 가 서로 다른 세 실근을 가질 k의 범위를 구하여라.

풀이) 극댓값 2, 극솟값 −2. 수평선 y=k 가 두 극값 사이를 지날 때 교점 3개.
∴ −2 < k < 2.

4. 접선의 활용

예제 4) 원점에서 곡선 y = x² + 1 에 그은 접선의 기울기를 구하여라.

풀이) 접점 (t, t²+1), 기울기 2t. 접선 y = 2t(x − t) + t² + 1. 원점 통과: 0 = −2t² + t² + 1 → t² = 1 → t = ±1. 기울기 2t = ±2.

정리

• 도함수 부호로 증감·극값(예제 1).
• 최대·최소는 극값과 끝값 비교(예제 2).
• 실근 개수는 그래프와 수평선의 교점(예제 3).