수학 강의 22강

미분의 역연산인 적분을 배우고, 정적분이 넓이가 됨을 예제로 이해한다.

1. 부정적분

F′(x)=f(x) 일 때 ∫f(x)dx = F(x)+C. ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1)+C.

예제 1) ∫(3x² − 4x + 1)dx 를 구하여라.

풀이) x³ − 2x² + x + C.

예제 2) f′(x) = 2x + 3 이고 f(1) = 4 일 때 f(x) 를 구하여라.

풀이) f(x) = x² + 3x + C. f(1) = 1 + 3 + C = 4 → C = 0. ∴ f(x) = x² + 3x.

2. 정적분

∫[a→b] f(x)dx = F(b) − F(a) (미적분의 기본정리).

예제 3) ∫[1→3] (2x)dx 를 구하여라.

풀이) [x²] 를 1에서 3까지: 3² − 1² = 9 − 1 = 8.

3. 정적분과 넓이

위 그림처럼 f(x)≥0 이면 정적분은 곡선과 x축 사이 넓이다.

예제 4) y = x² 과 x축, x=0, x=2 로 둘러싸인 넓이를 구하여라.

풀이) ∫[0→2] x² dx = [x³/3] = 8/3.

4. 정적분의 성질

∫[a→a]f=0, ∫[a→b]f = −∫[b→a]f, ∫[a→b]f + ∫[b→c]f = ∫[a→c]f.

예제 5) f(x) = x³ 일 때 ∫[−2→2] x³ dx 를 구하여라.

풀이) x³ 은 기함수라 원점 대칭. 대칭 구간의 적분은 0.

정리

• 부정적분은 미분의 역, +C 를 잊지 않기(예제 1·2).
• 정적분 = F(b)−F(a)(예제 3·4).
• 기함수의 대칭구간 적분은 0(예제 5).