수학 강의 23강

정적분으로 곡선이 둘러싸는 넓이와 움직이는 물체의 이동을 예제로 구한다.

1. 두 곡선 사이의 넓이

위 그림처럼 넓이 = ∫[a→b] (위 함수 − 아래 함수) dx.

예제 1) y = 2x 와 y = x² 로 둘러싸인 넓이를 구하여라.

풀이) 교점: 2x = x² → x=0, 2. 0≤x≤2 에서 2x ≥ x².
∫[0→2](2x − x²)dx = [x² − x³/3] = (4 − 8/3) = 4/3.

2. 곡선과 x축 사이 넓이 (부호 주의)

예제 2) y = x² − 1 과 x축으로 −1 ≤ x ≤ 1 에서 둘러싸인 넓이를 구하여라.

풀이) 이 구간에서 y ≤ 0 이므로 넓이는 ∫[−1→1] |x²−1| dx = −∫[−1→1](x²−1)dx.
∫[−1→1](x²−1)dx = [x³/3 − x] = (1/3−1) − (−1/3+1) = −4/3. 넓이 = 4/3.

3. 속도와 위치·거리

속도 v(t) 에서 변위 = ∫v dt, 이동 거리 = ∫|v| dt.

예제 3) 원점을 출발한 점의 속도가 v(t) = 2t − 4 일 때, 0 ≤ t ≤ 3 동안의 변위와 이동 거리를 구하여라.

풀이) 변위 = ∫[0→3](2t−4)dt = [t²−4t] = 9−12 = −3.
v=0 은 t=2. 0≤t≤2 는 v≤0, 2≤t≤3 은 v≥0.
이동 거리 = |∫[0→2]| + |∫[2→3]| = |(4−8)| + |(9−12)−(4−8)| = 4 + 1 = 5.

정리

• 두 곡선 사이 넓이 = ∫(위−아래)dx, 교점으로 구간 결정(예제 1).
• x축 아래 구간은 부호(절댓값)에 주의(예제 2).
• 변위 ∫v dt 와 이동거리 ∫|v| dt 는 다르다(예제 3).