수학 강의 24강

항의 번호를 무한히 키울 때 수열이 어디로 가는지, 그리고 무한히 더한 급수를 예제로 다룬다.

1. 수열의 극한

위 그림처럼 n→∞ 일 때 aₙ 이 L에 가까워지면 lim aₙ = L(수렴), 아니면 발산.

예제 1) lim(n→∞) (2n² + 3n)/(n² − 1) 을 구하여라.

풀이) 분자·분모를 n² 으로 나누면 (2 + 3/n)/(1 − 1/n²) → 2.

예제 2) lim(n→∞) (√(n²+n) − n) 을 구하여라.

풀이) 유리화: (n²+n−n²)/(√(n²+n)+n) = n/(√(n²+n)+n). 분모를 n으로 나누면 1/(√(1+1/n)+1) → 1/2.

2. 급수와 부분합

Σaₙ 은 부분합 Sₙ 의 극한이다.

예제 3) Σ(n=1→∞) 1/{n(n+1)} 을 구하여라.

풀이) 부분분수 1/n − 1/(n+1) 로 Sₙ = 1 − 1/(n+1). n→∞ 이면 Sₙ → 1. ∴ 합은 1.

3. 등비급수

|r|<1 이면 합은 a/(1−r), |r|≥1 이면 발산.

예제 4) 2 + 2/3 + 2/9 + … 의 합을 구하여라.

풀이) 첫째항 2, 공비 1/3 (|r|<1). 합 = 2/(1 − 1/3) = 2/(2/3) = 3.

예제 5) 순환소수 0.777… 을 분수로 나타내어라.

풀이) 0.7 + 0.07 + … = 0.7/(1−0.1) = 0.7/0.9 = 7/9.

정리

• ∞/∞ 는 최고차로 나누고, ∞−∞ 는 유리화(예제 1·2).
• 부분분수로 부분합을 구해 극한(예제 3).
• 등비급수 a/(1−r), 순환소수도 등비급수(예제 4·5).