수학 강의 25강

초월함수의 미분에 필요한 핵심 극한들을 예제로 익힌다.

1. 삼각함수의 극한

위 그림처럼 lim(x→0) sinx/x = 1, lim(x→0) tanx/x = 1. 각은 라디안.

예제 1) lim(x→0) sin3x / x 를 구하여라.

풀이) sin3x/x = 3 · sin3x/(3x). 3x→0 이므로 sin3x/(3x)→1. ∴ 3.

예제 2) lim(x→0) (1 − cosx)/x² 을 구하여라.

풀이) 분자에 (1+cosx) 를 곱하면 sin²x/{x²(1+cosx)} = (sinx/x)² · 1/(1+cosx) → 1 · 1/2 = 1/2.

2. 무리수 e

lim(x→0)(1+x)^(1/x) = e, lim(n→∞)(1+1/n)ⁿ = e.

예제 3) lim(n→∞) (1 + 2/n)ⁿ 을 구하여라.

풀이) (1 + 2/n)ⁿ = {(1 + 2/n)^(n/2)}². 안쪽은 e 로 수렴하므로 e².

3. 지수·로그의 극한

lim(x→0)(eˣ−1)/x = 1, lim(x→0) ln(1+x)/x = 1.

예제 4) lim(x→0) (e^(2x) − 1)/x 를 구하여라.

풀이) = 2 · (e^(2x)−1)/(2x) → 2 × 1 = 2.

정리

• sinkx/x → k, (1−cosx)/x² → 1/2(예제 1·2).
• (1 + a/n)ⁿ → eᵃ(예제 3).
• (eᵏˣ−1)/x → k, ln(1+x)/x → 1(예제 4).