수학 강의 26강

지수·로그·삼각함수의 도함수를 정리하고 예제로 연습한다.

1. 지수·로그함수의 도함수

(eˣ)′ = eˣ, (aˣ)′ = aˣ ln a, (ln x)′ = 1/x, (logₐx)′ = 1/(x ln a)(위 그림 표).

예제 1) f(x) = 3eˣ + 2ln x 를 미분하여라.

풀이) f′(x) = 3eˣ + 2/x.

2. 삼각함수의 도함수

(sinx)′ = cosx, (cosx)′ = −sinx, (tanx)′ = sec²x.

예제 2) f(x) = x sin x 를 미분하여라.

풀이) 곱의 미분: f′(x) = sinx + x cosx.

3. 곱·몫의 미분법

(fg)′ = f′g + fg′, (f/g)′ = (f′g − fg′)/g².

예제 3) f(x) = eˣ / x 를 미분하여라.

풀이) f′(x) = (eˣ·x − eˣ·1)/x² = eˣ(x − 1)/x².

예제 4) f(x) = ln x / x 의 극값을 구하여라.

풀이) f′(x) = (1 − ln x)/x². f′=0 → ln x = 1 → x = e. x<e 에서 f′>0, x>e 에서 f′<0 → x=e 에서 극대. 극댓값 f(e) = 1/e.

정리

• eˣ 은 미분 불변, (lnx)′ = 1/x(예제 1).
• 삼각함수와 곱·몫 미분법의 결합(예제 2·3).
• 도함수로 초월함수의 극값도 구한다(예제 4).