수학 강의 27강

합성·몫·매개변수·음함수 등 복잡한 함수의 미분을 예제로 배운다.

$수학 27강 개념도$

1. 연쇄법칙 (합성함수)

위 그림처럼 {f(g(x))}′ = f′(g(x))·g′(x).

예제 1) y = (2x + 1)⁵ 을 미분하여라.

풀이) 바깥 u⁵ 미분 5u⁴, 안쪽 2x+1 미분 2. ∴ y′ = 5(2x+1)⁴ · 2 = 10(2x+1)⁴.

예제 2) y = e^(x²) 을 미분하여라.

풀이) y′ = e^(x²) · (x²)′ = 2x e^(x²).

(f/g)′ = (f′g − fg′)/g². 매개변수: dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt).

예제 3) x = t², y = t³ 일 때 dy/dx 를 t로 나타내어라.

풀이) dx/dt = 2t, dy/dt = 3t². dy/dx = 3t²/2t = 3t/2.

예제 4) x² + y² = 25 에서 dy/dx 를 구하여라.

풀이) 양변을 x로 미분: 2x + 2y·y′ = 0 → y′ = −x/y.

(f⁻¹)′(b) = 1/f′(a) (b=f(a)).

예제 5) f(x) = x³ + x 이고 f(1) = 2 일 때 (f⁻¹)′(2) 를 구하여라.

풀이) f′(x) = 3x² + 1, f′(1) = 4. ∴ (f⁻¹)′(2) = 1/4.