수학 강의 28강

2계도함수로 곡선의 휘어짐을 분석하고, 극값·속도·가속도에 예제로 응용한다.

$수학 28강 개념도$

1. 오목·볼록과 변곡점

f″(x)>0 이면 아래로 볼록(∪), f″(x)<0 이면 위로 볼록(∩). 위 그림처럼 볼록 방향이 바뀌는 점이 변곡점이다.

예제 1) f(x) = x³ − 3x² 의 변곡점을 구하여라.

풀이) f′ = 3x² − 6x, f″ = 6x − 6 = 0 → x = 1. 좌우에서 f″ 부호 바뀜 → 변곡점 (1, f(1)) = (1, −2).

f′(a)=0 이고 f″(a)>0 이면 극소, f″(a)<0 이면 극대.

예제 2) f(x) = x³ − 3x 의 극값을 2계도함수로 판정하여라.

풀이) f′ = 3x² − 3 = 0 → x = ±1. f″ = 6x. f″(1) = 6 > 0 → x=1 극소, f″(−1) = −6 < 0 → x=−1 극대.

위치 x(t) 에서 v(t) = x′(t), a(t) = v′(t).

예제 3) x(t) = t³ − 6t² + 9t 일 때, 점이 운동 방향을 바꾸는 시각을 구하여라.

풀이) v(t) = 3t² − 12t + 9 = 3(t−1)(t−3). v=0 이고 부호가 바뀌는 t = 1, 3 에서 방향 전환.

예제 4) 겉넓이가 일정한 원기둥처럼, 함수의 최소를 미분으로 찾는 문제에 쓴다. 예로 f(x) = x + 4/x (x>0) 의 최솟값을 구하여라.

풀이) f′ = 1 − 4/x² = 0 → x = 2. f″ = 8/x³ > 0 → 극소이자 최소. 최솟값 f(2) = 2 + 2 = 4.