수학 강의 29강

치환적분과 부분적분을 예제로 익힌다. 복잡한 적분을 푸는 두 핵심 기술이다.

1. 치환적분

위 그림처럼 ∫ f(g(x))g′(x)dx = ∫ f(u)du (u = g(x)).

예제 1) ∫ 2x(x² + 1)³ dx 를 구하여라.

풀이) u = x²+1, du = 2x dx. ∫ u³ du = u⁴/4 + C = (x²+1)⁴/4 + C.

예제 2) ∫ (2x)/(x² + 1) dx 를 구하여라.

풀이) u = x²+1, du = 2x dx. ∫ du/u = ln|u| + C = ln(x²+1) + C.

2. 부분적분

∫ u dv = uv − ∫ v du. 로그·다항식을 u로, 지수·삼각을 dv로(LIATE).

예제 3) ∫ x eˣ dx 를 구하여라.

풀이) u = x, dv = eˣdx → du = dx, v = eˣ.
= x eˣ − ∫ eˣ dx = x eˣ − eˣ + C = (x − 1)eˣ + C.

예제 4) ∫ ln x dx 를 구하여라.

풀이) u = ln x, dv = dx → du = dx/x, v = x.
= x ln x − ∫ x·(1/x) dx = x ln x − x + C.

3. 정적분에의 적용

예제 5) ∫[0→1] x eˣ dx 를 구하여라.

풀이) 부정적분 (x−1)eˣ. [(x−1)eˣ]₀¹ = (0)e¹ − (−1)e⁰ = 0 + 1 = 1.

정리

• 치환적분: 안쪽 함수를 u로, 특히 ∫f′/f = ln|f|(예제 1·2).
• 부분적분 ∫u dv = uv − ∫v du, ∫ln x dx 는 대표 예(예제 3·4).
• 정적분은 부정적분 후 대입(예제 5).