수학 강의 30강

정적분으로 넓이와 회전체의 부피를 예제로 구한다.

1. 두 곡선 사이의 넓이

넓이 = ∫[a→b] (위 − 아래) dx.

예제 1) 곡선 y = x² 과 직선 y = x + 2 로 둘러싸인 넓이를 구하여라.

풀이) 교점: x² = x+2 → x²−x−2 = 0 → x = −1, 2. 이 구간에서 직선이 위.
∫[−1→2](x + 2 − x²)dx = [x²/2 + 2x − x³/3]. 계산하면 = 10/3 − (−7/6) = 27/6 = 9/2.

2. 회전체의 부피

위 그림처럼 y=f(x) 를 x축 둘레로 회전하면 단면이 반지름 y인 원. V = π∫[a→b] y² dx.

예제 2) y = √x (0≤x≤4) 를 x축 둘레로 회전한 입체의 부피를 구하여라.

풀이) V = π∫[0→4] (√x)² dx = π∫[0→4] x dx = π[x²/2]₀⁴ = π·8 = 8π.

예제 3) y = x (0≤x≤2) 를 x축 둘레로 회전한 원뿔의 부피를 구하여라.

풀이) V = π∫[0→2] x² dx = π[x³/3]₀² = 8π/3 (반지름 2, 높이 2인 원뿔 부피와 일치).

3. 속도와 거리

예제 4) 속도 v(t) = 3t² − 6t 로 움직이는 점의 0 ≤ t ≤ 3 동안 이동 거리를 구하여라.

풀이) v = 3t(t−2). 0≤t≤2 는 v≤0, 2≤t≤3 은 v≥0.
∫[0→2] v dt = [t³−3t²] = 8−12 = −4, ∫[2→3] v dt = (27−27)−(8−12) = 4.
이동 거리 = |−4| + |4| = 8.

정리

• 넓이 = ∫(위−아래)dx, 교점으로 구간 결정(예제 1).
• 회전체 부피 V = π∫y²dx(예제 2·3).
• 이동 거리는 속도의 절댓값을 적분(예제 4).