수학 강의 4강

이차함수의 그래프인 포물선을 이해하고, 이차방정식·직선과의 관계를 예제로 연결한다.

$수학 4강 개념도$

1. 이차함수의 그래프

y = a(x − p)² + q 는 꼭짓점이 (p, q) 인 포물선이다. a > 0 이면 아래로 볼록, a < 0 이면 위로 볼록. 일반형은 완전제곱식으로 고쳐 꼭짓점을 찾는다.

예제 1) y = x² − 4x + 1 의 꼭짓점을 구하여라.

풀이) y = (x² − 4x + 4) − 4 + 1 = (x − 2)² − 3.
∴ 꼭짓점 (2, −3), 아래로 볼록.

교점의 x좌표는 ax² + bx + c = 0 의 실근이므로 판별식 D 로 개수가 정해진다(위 그림).

예제 2) y = x² − 2x + k 가 x축에 접할 때 상수 k를 구하여라.

풀이) 접함 ⇔ D = 0. D = (−2)² − 4k = 4 − 4k = 0 → k = 1.

두 식을 연립한 이차방정식의 판별식으로 판단한다.

예제 3) 포물선 y = x² 과 직선 y = 2x + k 가 접하도록 하는 k를 구하여라.

풀이) x² = 2x + k → x² − 2x − k = 0.
접함이므로 D = 4 + 4k = 0 → k = −1.

예제 4) 0 ≤ x ≤ 3 에서 y = x² − 4x + 1 의 최댓값과 최솟값을 구하여라.

풀이) 꼭짓점 (2, −3) 은 구간 안에 있다.
- 최솟값: 꼭짓점에서 −3 (x=2)
- 최댓값: 양 끝값 비교. x=0이면 1, x=3이면 9−12+1=−2. 큰 쪽은 1.
∴ 최댓값 1(x=0), 최솟값 −3(x=2).