수학 강의 33강

확률변수의 분포와, 통계에서 가장 중요한 정규분포를 예제로 다룬다.

1. 확률변수와 기댓값·분산

E(X) = Σ xᵢpᵢ, V(X) = E(X²) − {E(X)}², σ = √V(X).

예제 1) 확률변수 X가 값 0, 1, 2를 확률 1/4, 1/2, 1/4 로 가질 때 E(X) 와 V(X) 를 구하여라.

풀이) E(X) = 0·¼ + 1·½ + 2·¼ = 1.
E(X²) = 0·¼ + 1·½ + 4·¼ = 3/2. V(X) = 3/2 − 1² = 1/2.

2. 이항분포

B(n, p): E(X) = np, V(X) = npq (q=1−p).

예제 2) 앞면 확률 1/2인 동전을 100번 던질 때 앞면 횟수 X의 평균과 표준편차를 구하여라.

풀이) E(X) = 100 × 1/2 = 50. V(X) = 100 × ½ × ½ = 25, σ = 5.

3. 정규분포

위 그림처럼 N(μ, σ²) 는 μ 대칭 종모양. μ±σ 68%, μ±2σ 95%, μ±3σ 99.7%.

예제 3) 평균 60, 표준편차 10인 정규분포에서 50 ≤ X ≤ 70 일 확률은?

풀이) 50 = μ−σ, 70 = μ+σ 이므로 μ±σ 범위 → 약 0.68.

4. 표준화

Z = (X − μ)/σ 로 N(0,1) 로 바꾼다.

예제 4) 위 분포에서 X = 75 를 표준화한 값 Z를 구하여라.

풀이) Z = (75 − 60)/10 = 1.5.

정리

• 기댓값 Σxp, 분산 E(X²)−{E(X)}²(예제 1).
• 이항분포 E=np, V=npq(예제 2).
• 정규분포 68·95·99.7 과 표준화 Z=(X−μ)/σ(예제 3·4).