수학 강의 6강

좌표평면 위의 거리·내분점과 직선의 방정식을 예제로 다룬다. 도형을 식으로 다루는 출발점이다.

1. 두 점 사이의 거리

A(x₁,y₁), B(x₂,y₂) 사이의 거리는 AB = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²).

예제 1) A(1, 2), B(4, 6) 사이의 거리를 구하여라.

풀이) AB = √((4−1)² + (6−2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

2. 내분점과 중점

선분 AB를 m : n 으로 내분하는 점은 ((m x₂ + n x₁)/(m+n), (m y₂ + n y₁)/(m+n)). 중점은 좌표의 평균이다.

예제 2) A(2, 1), B(8, 7) 을 1 : 2 로 내분하는 점을 구하여라.

풀이) x = (1·8 + 2·2)/3 = 12/3 = 4, y = (1·7 + 2·1)/3 = 9/3 = 3. ∴ (4, 3).

3. 직선의 방정식과 기울기

기울기 m = Δy/Δx(위 그림). 한 점 (x₁, y₁) 지나고 기울기 m: y − y₁ = m(x − x₁).

예제 3) 두 점 (1, 2), (3, 8) 을 지나는 직선의 방정식을 구하여라.

풀이) 기울기 m = (8−2)/(3−1) = 3. 점 (1, 2) 대입:
y − 2 = 3(x − 1) → y = 3x − 1.

4. 평행과 수직

• 평행: m₁ = m₂
• 수직: m₁ · m₂ = −1

예제 4) 점 (0, 1) 을 지나고 직선 y = 2x + 3 에 수직인 직선의 방정식을 구하여라.

풀이) 수직이므로 기울기 m = −1/2. y = −(1/2)x + 1.

5. 점과 직선 사이의 거리

점 (x₀, y₀) 와 직선 ax + by + c = 0 사이 거리는 |ax₀ + by₀ + c| / √(a²+b²).

예제 5) 점 (1, 2) 와 직선 3x + 4y − 1 = 0 사이의 거리를 구하여라.

풀이) |3·1 + 4·2 − 1| / √(9+16) = |10| / 5 = 2.

정리

• 거리·중점은 좌표로 바로 계산(예제 1·2).
• 직선은 기울기와 한 점으로 결정(예제 3).
• 평행 m₁=m₂, 수직 m₁m₂=−1(예제 4), 점~직선 거리 공식(예제 5).