수학 강의 7강

좌표평면에서 원을 식으로 나타내고, 원과 직선의 위치 관계·접선을 예제로 다룬다.

1. 원의 방정식

중심 (a, b), 반지름 r 인 원은 (x − a)² + (y − b)² = r². 위 그림은 중심 (1, 1), 반지름 2인 원 (x−1)² + (y−1)² = 4.

예제 1) 중심이 (−2, 3) 이고 점 (1, 7) 을 지나는 원의 방정식을 구하여라.

풀이) 반지름 = 중심에서 그 점까지 거리 = √((1−(−2))² + (7−3)²) = √(9+16) = 5.
∴ (x + 2)² + (y − 3)² = 25.

2. 일반형에서 중심·반지름 찾기

x² + y² + Ax + By + C = 0 은 완전제곱식으로 정리한다.

예제 2) x² + y² − 6x + 4y + 4 = 0 의 중심과 반지름을 구하여라.

풀이) (x² − 6x + 9) + (y² + 4y + 4) = −4 + 9 + 4
(x − 3)² + (y + 2)² = 9. ∴ 중심 (3, −2), 반지름 3.

3. 원과 직선의 위치 관계

중심과 직선의 거리 d, 반지름 r을 비교한다. d < r(두 점), d = r(접함), d > r(안 만남).

예제 3) 원 x² + y² = 4 와 직선 y = x + k 가 접하도록 하는 k를 구하여라.

풀이) 중심 (0,0) 과 x − y + k = 0 의 거리 = |k|/√2. 접함 ⇔ 이 값이 반지름 2.
|k|/√2 = 2 → |k| = 2√2 → k = ±2√2.

4. 원의 접선

• 원 x² + y² = r² 위의 점 (x₁, y₁) 에서의 접선: x₁x + y₁y = r²

예제 4) 원 x² + y² = 25 위의 점 (3, 4) 에서의 접선의 방정식을 구하여라.

풀이) 3x + 4y = 25.

정리

• 표준형에서 중심·반지름을 읽고, 일반형은 완전제곱으로 변형(예제 1·2).
• 위치 관계는 "중심~직선 거리 d 와 r 비교"(예제 3).
• 접점이 주어진 접선은 x₁x + y₁y = r²(예제 4).