수학 강의 8강

점과 도형을 평행이동·대칭이동하는 규칙을 예제로 익힌다. 그래프를 옮기고 뒤집는 모든 조작의 기본이다.

1. 평행이동

점 (x, y) 를 x축으로 a, y축으로 b만큼 옮기면 (x + a, y + b). 그래프는 x 대신 x − a, y 대신 y − b 를 넣는다: y = f(x) → y − b = f(x − a).

예제 1) 포물선 y = x² 을 x축으로 2, y축으로 −3만큼 평행이동한 식을 구하여라.

풀이) x 대신 x − 2, y 대신 y + 3: y + 3 = (x − 2)² → y = (x − 2)² − 3.

2. 점의 대칭이동

위 그림처럼

• x축 대칭: (x, −y), y축 대칭: (−x, y)
• 원점 대칭: (−x, −y), y = x 대칭: (y, x)

예제 2) 점 P(3, 2) 를 x축, y축, 원점, 직선 y=x에 대해 대칭이동한 점을 각각 구하여라.

풀이) x축 (3, −2), y축 (−3, 2), 원점 (−3, −2), y=x (2, 3).

3. 도형(그래프)의 대칭이동

식에서도 같은 규칙을 적용한다.

예제 3) 직선 y = 2x + 1 을 x축에 대해 대칭이동한 식을 구하여라.

풀이) x축 대칭은 y 대신 −y: −y = 2x + 1 → y = −2x − 1.

예제 4) 곡선 y = 2x + 1 을 직선 y = x 에 대해 대칭이동한 식(역함수)을 구하여라.

풀이) x와 y를 바꾼다: x = 2y + 1 → y = (x − 1)/2.

정리

• 평행이동은 x−a, y−b 로 치환(예제 1).
• 대칭이동은 부호 바꾸기 또는 x·y 교환(예제 2·3·4).
• y = x 대칭은 x와 y를 맞바꾸는 역함수 관계다.