전기기사 16강

이번 강은 라플라스 변환과 전달함수다. 미분방정식을 대수식으로 바꿔 회로·시스템을 쉽게 푼다.

시간영역의 복잡한 미분방정식을 s영역의 간단한 대수식으로 변환한다.

이 강의 목표는 다음과 같다.

• 주요 라플라스 변환쌍을 안다.
• 전달함수의 정의를 이해한다.
• 4단자(ABCD) 파라미터를 안다.

1. 라플라스 변환쌍

• 1 → 1/s, t → 1/s²
• e^(−at) → 1/(s+a)
• sin(ωt) → ω/(s²+ω²), cos(ωt) → s/(s²+ω²)

미분은 s배, 적분은 1/s배로 대응한다.

2. 전달함수

G(s) = 출력(s) / 입력(s) (모든 초기값 0)

시스템의 입출력 관계를 s의 함수로 나타낸다.

3. 최종값 정리와 4단자

• 최종값 정리: lim f(t) = lim s·F(s) (t→∞, s→0)
• 4단자 파라미터: AD − BC = 1(대칭·가역 회로).

핵심 공식·용어

• 변환쌍: 1→1/s, e^(−at)→1/(s+a).
• 미분·적분: s배 / 1/s배.
• 전달함수: G(s) = 출력/입력(초기값 0).
• 4단자: AD − BC = 1.

예제

예제) f(t) = e^(−2t)의 라플라스 변환 F(s)는?

해설) 변환쌍 e^(−at) → 1/(s+a)에서 a=2이므로 F(s) = 1/(s+2). 지수함수는 s평면에서 극점 s=−a를 갖는 간단한 형태로 변환되어 회로 해석이 쉬워진다.

샘플 문제

문) 라플라스 변환에서 시간영역의 미분 연산은 s영역에서 무엇에 대응하는가?

• (A) 1/s를 곱함
• (B) s를 곱함
• (C) s²를 곱함
• (D) 변화 없음

정답: (B). 시간영역의 미분은 s영역에서 s를 곱하는 것에 대응한다(초기값 0 가정). 적분은 반대로 1/s를 곱한다. 이 덕분에 미분방정식이 대수식이 된다.

정리

• 주요 변환쌍: 1→1/s, e^(−at)→1/(s+a) 등.
• 미분→s배, 적분→1/s배.
• 전달함수 G(s) = 출력/입력(초기값 0).
• 최종값 정리, 4단자 AD−BC=1.

다음 강에서는 제어공학을 다룬다.